相交弦定理及证明方法

相交弦定理是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。

相交弦定理证明

证明：连结AC，BD

由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）

∴△PAC∽△PDB

∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD

注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。

相关定理

定理

是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。

相关定理

相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：切割线定理、切线长定理。

相交弦定理例题

圆内有相交两弦，一弦长为8cm，并被交点平分，另一弦被交点分成1 :4两部分，求另一弦的长。

解: 设另一弦被交点分成的两部分的长分别为a和4a。

依据相交弦定理，得a·4a=16。

解得 a=±2 (舍负)。

所以另一弦的长为(a+4a)=5a=5×2=10(cm)。

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