分数指数幂的定义和运算性质

一、分数指数幂的定义和运算性质

1、定义

分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式。

规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$（$a>0$，$m$、$n$属于正整数，$n>1$）。

（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

2、正整数指数幂的运算性质

$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m$，$n$是正整数）。

$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$是正整数）。

$(ab)^n=a^nb^n$（$n$是正整数）。

$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m$，$n$是正整数，$m>n$）。

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$（$n$是正整数）。

3、零指数幂

当$a≠0$时，$a^0=1$。

4、负整数指数幂

一般地，当$n$是正整数时，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$(a≠0)$。这就是说，$a^{-n}(a≠0)$是$a^n$的倒数。像上面这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数。

二、分数指数幂的相关例题

计算：$\sqrt{8}×\sqrt{\frac{1}{2}}=$___

答案：2

解析：$\sqrt{8}×\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{8×\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$。

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