锐角三角函数的定义和关系

一、锐角三角函数的定义和关系

1、锐角三角函数

在Rt$△ABC$中，锐角$A$的正弦、余弦和正切都是$∠A$的三角函数。

正弦：$\sin A=\displaystyle{}\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}$；

余弦：$\cos A=\displaystyle{}\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}$；

正切：$\tan A=\displaystyle{}\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}$。

（$a$，$b$，$c$为Rt$△ABC$中$∠A$，$∠B$，$∠C$所对的边长）

2、特殊锐角的三角函数值

$\sin 30°=\frac{1}{2}$，$\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 60°=\frac{{1}}{2}$。

$\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan 45°=1$，$\tan 60°=\sqrt{3}$。

3、锐角三角函数的关系

（1）互余两角的三角函数关系（$A$为锐角）

① $\sin A=\cos (90°-A)$，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值。

② $\cos A=\sin (90°-A)$，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

（2）同角的三角函数值之间的关系

① $\sin ^2A+\cos ^2A=1$；

② $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$。

4、锐角三角函数的性质

（1）锐角三角函数的取值范围

当$A$为锐角时，0<$\sin A$<1，0<$\cos A$<1，$\tan A$>0。

（2）锐角三角函数的增减性

当角度在0~90°（不包括0°，90°）之间变化时

① 锐角的正弦值随角度的增大而增大。

② 锐角的余弦值随角度的增大而减小。

③ 锐角的正切值随角度的增大而增大。

二、锐角三角函数的定义的相关例题

$\sqrt{2}\cos 30°$的值是___

答案：$\frac{\sqrt{6}}{2}$

解析：$\sqrt{2}\cos 30°=$$\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}=$$\frac{\sqrt{6}}{2}$。

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