复数的乘除和性质

一、复数的乘除和性质

1、复数的乘法

设$z_1=a+b{\rm i},z_2=c+d{\rm i}$是任意两个复数，那么它们的积$(a+b{\rm i})(c+d{\rm i})=ac+bc{\rm i}+ad{\rm i}+bd{\rm i}^2$

$=(ac-bd)+(ad+bc){\rm i}$。

（1）两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把$i^2$换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可。

（2）两个复数的积是一个确定的复数。

2、复数乘法的运算律

对于任意$z_1,z_2,z_3\in\mathbf{C}$，有

（1）交换律：$z_1z_2=z_2z_1$。

（2）结合律：$（z_1z_2）z_3=z_1(z_2z_3)$。

（3）分配律：$z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$。

3、复数正整数指数幂的运算

对于任意复数$z_1,z_2,z_3$和正整数$m,n$，有$z^mz^n=z^{m+n}，(z^m)^n=z^{mn}$，$(z_1z_2)^n=z^n_1z^n_2$。

4、复数的除法

（1）共轭复数

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。通常记复数$z$的共轭复数为$\overline{z}$。即复数$z=a+b{\rm i}$的共轭复数$\overline{z}=a-b{\rm i}$。

（2）共轭复数的性质

若$z_1,z_2$互为共轭复数，则在复平面内，$z_1,z_2$所对应的点关于实轴对称，且$z_1z_2$为实数。

（3）复数的除法

$(a+b{\rm i})÷(c+d{\rm i})$=$\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}{\rm i}(c+d{\rm i}≠0)$。

两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数。

复数的除法运算的实质是分母的“实数化”。

二、复数的乘除的相关例题

若复数$z=\frac{3+4{\rm i}}{2+{\rm i}}({\rm i}$是虚数单位)，则$|z|$=___

A．1 B．2 C．$\sqrt{5}$ D．5

答案：C

解析：∵复数$z=\frac{3+4{\rm i}}{2+{\rm i}}=\frac{(3+4{\rm i})(2-{\rm i})}{(2+{\rm i})(2-{\rm i})}=\frac{10+5{\rm i}}{5}=2+{\rm i}$,$∴|z|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，故选C。

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