复数的坐标表示和概念

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一、复数的坐标表示和概念

1、复数的概念

把集合$\mathbf{C}={ a+b{\rm i}|a，b\in\mathbf{R}}$中的数，即形如$a+b{\rm i}(a，b\in\mathbf{R})$的数叫做复数，其中${\rm i}$叫做虚数单位。全体复数所成的集合$\mathbf{C}$叫做复数集。

2、复数的分类

（1）对于复数$a+b{\rm i}$，当且仅当$b$=0时，它是实数；

（2）对于复数$a+b{\rm i}$，当且仅当$a$=$b$=0时，它是实数0；

（3）对于复数$a+b{\rm i}$，当时$b$≠0，叫做虚数；

（4）对于复数$a+b{\rm i}$，当$a$=0且$b$≠0时，叫做纯虚数。

复数$z=a+b{\rm i}$可以分类如下：

复数$z$$\begin{cases}实数(b=0),\\虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数)\end{cases}$

（实数集$\mathbf{R}$是复数集$\mathbf{C}$的真子集，即$\mathbf{R}\subsetneqq\mathbf{C}$）.

3、复数相等

在复数集$\mathbf{C}={ a+b{\rm i}|a,b\in\mathbf{R}}$中任取两个数$a+b{\rm i}$，$c+d{\rm i}(a,b,c,d\in\mathbf{R})$，则$a+b{\rm i}$与$c+d{\rm i}$相等的充要条件是$a=c$且$b=d$。

注意：只有两个实数可以比较大小，两个复数中至少有一个不是实数时，不能比较大小，只能说相等还是不相等。

4、复数的坐标表示

每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集$\mathbf{C}$和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数$z=a+b{\rm i}$一一对应复平面内的点$z（a，b）$。

注：复平面内点$z$的坐标是$(a,b)$，而不是$(a，b{\rm i})$。

二、复数的坐标表示的例题

已知${\rm i}$为虚数单位，且复数$z$满足$z(1-2{\rm i})$=$|3+4{\rm i}|$，则复数$\bar{z}$在复平面内对应的点位于___

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

答案：D

解析：由$z(1-2{\rm i})=|3+4{\rm i}|$=$\sqrt{3^2+4^2}$=5，得$z=\frac{5}{1-2{\rm i}}$=$\frac{5(1+2{\rm i})}{(1-2{\rm i})(1+2{\rm i})}=1+2{\rm i}$，∴$\bar{z}=1-2{\rm i}$，则复$\bar{z}$在复平面内对应的点的坐标为(1,-2)，位于第四象限，故选D。