微积分基本定理和常用定积分公式

一、微积分基本定理和常用定积分公式

1、微积分基本定理

一般地，如果$f(x)$是区间$[a,b]$上的连续函数，并且$F′(x)=f(x)$，那么$\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x=$$F(b)-$$F(a)$。这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式。

2、常用定积分公式

（1）$(cx)′=$$c\Rightarrow$$\int_{a}^{b}c{\rm d}x=$$cx|^b_a$；

（2）$(x^n)′=$$nx^{n-1}\Rightarrow$$\int_{a}^{b}x^n{\rm d}x=$$\frac{1}{n+1}·x^{n+1}|^b_a$；

（3）$(\sin x)′=$$\cos x⇒$$\int_{a}^{b}\cos x{\rm d}x=$$\sin x|^b_a$；

（4）$(\cos x)′=$$-\sin x⇒$$\int_{a}^{b}\sin x{\rm d}x=$$-\cos x|^b_a$；

（5）$(\ln x)′=$$\frac{1}{x}⇒$$\int_{a}^{b}\frac{1}{x}{\rm d}x=$$\ln x|^b_a$；

（6）$({\rm e}^x)′=$${\rm e}^x⇒$$\int_{a}^{b}{\rm e}^x{\rm d}x$=${\rm e}^x|^b_a$；

（7）$(a^x)′=$$a^x\ln a\Rightarrow$$\int_{a}^{b}a^x{\rm d}x=$$\frac{a^x}{\ln a}|^b_a$。

二、微积分基本定理的相关例题

定积分$\int_{1}^{3}\left(2x-\frac{1}{x}\right){\rm d}x=$___

A．$10-\ln 3$ B．$8-\ln 3$

C．$\frac{22}{3}$ D．$\frac{64}{9}$

答案：B

解析：由题意得$\int_{1}^{3}\left(2x-\frac{1}{x}\right){\rm d}x=$$(x^2-\ln x)|^3_1=$$(3^2-\ln 3)-$$(1^2-\ln 1)=$$8-\ln 3$，故选B。

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