倒序相加法的定义

一、倒序相加法的定义

倒序相加法是解决数列求和问题的一种经典方法。

如果一个数列${a_n}$中，与首、末两项等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前$n$项和可用倒序相加法。

等差数列的前$n$项和就是用这个方法推导的。

如：求$1+2+3+$$\cdots+$$98+99+100$的和可用倒序相加法，即$(1+100)+$$(2+99)+$$(3+98)+$$\cdots+$$(50+51)=$$5050$。

二、倒序相加法的相关例题

已知函数$f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$，数列$\{a_n\}$满足$a_n=f\left(\frac{n}{2020}\right)$，则数列$\{a_n\}$的前$2019$项和为___

A．$\frac{2019}{2}$ B．$1010$

C．$\frac{2021}{2}$ D．$1011$

答案：A

解析：依题意，函数$f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$，则$f(1-x)=\frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2}=\frac{2}{4^x+2}$，所以$f(x)+f(1-x)=1$，又数列$\{a_n\}$满足${a_n}=f\left(\frac{n}{2 020}\right)$，$f\left(1-\frac{n}{2 020}\right)=f\left(\frac{2 020-n}{2 020}\right)=$$a_{2020-n}$。因为$f(x)+f(1-x)=1$，所以$a_n+a_{2020-n}=1$，设此数列前$2 019$项的和为$S_{2019}$，则有$S_{2019}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{2019}$，$S_{2019}=$$a_{2019}+$$a_{2018}+$$a_{2017}+$$\cdots+a_1$，所以$2S_{2019}=(a_1+a_{2019})+$$(a_2+a_{2018})+$$\cdots+$$(a_{2018}+a_2)+$$(a_{2019}+a_1)=$$2 019$，即$S_{2019}=\frac{2019}{2}$。

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