圆的定义和有关概念

一、圆的定义和有关概念

1、圆的有关概念

（1）圆的定义：在一个平面内，线段$OA$绕它固定的一个端点$O$旋转一周，另一个端点$A$ 所形成的图形叫做圆。其固定的端点$O$叫做圆心，线段$OA$叫做半径。以点$O$为圆心的圆，记作“$⊙O$”，读作“圆$O$”。

此外，圆心为$O$，半径为$r$的圆可以看成是所有到定点$O$的距离等于定长$r$的点的集合。

（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（3）直径：经过圆心的弦叫做直径。

（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以$A$，$B$为端点的弧记作$\overset{\frown} {AB}$，读作“圆弧$AB$”或“弧$AB$”。

圆的任意一条非直径的弦把圆分成两条不同长的弧，大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个点表示；小于半圆的弧叫做劣弧。

（5）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。

容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

2、垂直于弦的直径

（1）圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆有无数条对称轴。

圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

圆还具有旋转不变性。

（2）垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

3、弧、弦、圆心角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

（2）圆心角定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

同样还可以得到：

① 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

② 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。

4、圆周角

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

（2）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

在同圆或等圆中，两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

（3）圆内接多边形

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

（4）圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角互补。

5、点和圆的位置关系

设$⊙O$的半径为$r$，点$P$到圆心的距离$OP=d$，则有

（1）点$P$在$⊙O$外，$d>r$。

（2）点$P$在$⊙O$上，$d=r$。

（3）点$P$在$⊙O$内，$d<r$。

6、三角形的外接圆

（1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

（2）三角形的外接圆的有关概念：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

（3）三角形外接圆的作法

① 确定圆心：三角形两边的垂直平分线的交点即为圆心；

② 确定半径：交点到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径。

7、直线和圆的位置关系

设圆的半径为r，圆心到直线的距离为$d$。

（1）相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。此时公共点数为2，$d<r$。

（2）相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。此时公共点数为1，$d=r$。

（3）相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。此时公共点数为0，$d>r$。

8、圆的切线

（1）切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。此外，经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；垂直于切线且过切点的直线必过圆心。

（2）切线的性质定理

圆的切线垂直于过切点的半径。

9、切线长

（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

10、切线的判定和性质的应用

（1）辅助线的作法

运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题。

（2）证明直线与圆相切的三种途径

① 证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）。

② 证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）。

③ 证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证$d=r$）。

当题目已知直线与圆的公共点时，一般用方法② ，当题目未知直线与圆的公共点时，一般用方法③ 。

11、三角形的内切圆

（1）三角形的内切圆的有关概念

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

（2）三角形内切圆的作法

确定圆心：三角形两条角平分线的交点即为圆心。

确定半径：交点到三角形任意一边的距离即为内切圆的半径。

（3） 如果三角形三边长分别为$a$，$b$，$c$，内切圆半径为$r$，则三角形的面积$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$。

12、圆和圆的位置关系

设两圆的半径分别为$r_1$和$r_2(r_1<r_2)$，圆心距为$d$。

（1）两圆相离

① 外离：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。此时$d>r_1+r_2\Leftrightarrow$ 外离。没有公共点。

② 内含（含同心圆）：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含；两个圆的圆心重合时，我们称这两个圆是同心圆。此时$d=r_2-r_1\Leftrightarrow$ 内含，$d=0\Leftrightarrow$ 同心圆。没有公共点。

（2）两圆相切

① 外切：两个圆有唯一公共点，并且除这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。此时$d=r_1+r_2\Leftrightarrow$ 外切。公共点个数为1。

② 内切：两个圆有唯一公共点，并且除这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。此时$d=r_2-r_1\Leftrightarrow$ 内切。公共点个数为1。

（3）两圆相交

两个圆有两个公共点时，叫做两圆相交。此时$r_2-r_1<d<r_1+r_2\Leftrightarrow$ 相交。公共点个数为2。

13、正多边形和圆

（1）正多边形的有关概念

一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

（2）正多边形的画法

正$n$边形的画法思想是将圆$n$等分，然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形。如作正六边形，可以先画一个半径与已知边长相等的圆，然后在上面截取得到等分点，连接即得到所要作的正六边形。并非所有的正多边形都可以只用尺规作出。

（3）正多边形的计算

设正多边形的边数为$n$，半径为$R$，边心距为$r$，边长为$a$，则有：

① 正多边形的内角：$\frac{(n-2)·180°}{n}=$$180°-$$\frac{360°}{n}$。

② 正多边形的中心角：$\frac{360°}{n}$。

③ 正多边形的半径：$R^2=r^2+\frac{1}{4}a^2$。

④ 正多边形的周长：$C=n·a$。

⑤ 正多边形的面积：$S=\frac{1}{2}nar=\frac{1}{2}C·r$。

14、弧长和扇形面积

（1）弧长公式

在半径为$R$的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长$C=2πR$，所以$n°$的圆心角所对的弧长为$l=2πR·\frac{n}{360}$，即$l=\frac{nπR}{180}$。

（2）扇形面积公式

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。在半径为$R$的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积$S=πR^2$，所以圆心角为$n°$的扇形面积是$S_{扇形}=$$πR^2×$$\frac{n}{360}=$$\frac{nπR^2}{360}$。

（3）圆锥的母线

圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

（4）圆锥的侧面展开图及有关计算

沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。

设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$ ，那么这个扇形的半径为$l$，扇形的弧长为$2πr$，因此圆锥的侧面积为$S_{圆锥侧}=$$\frac{1}{2}×$$2πr·l=$$πlr$，圆锥的全面积为$S_{圆锥全}=$$πlr+$$πr^2$。

二、圆的相关例题

若$⊙O$的半径为5 cm，点$A$到圆心$O$的距离为4 cm，那么点$A$与$⊙O$的位置关系是___

A．点$A$在圆外

B．点$A$在圆上

C．点$A$在圆内

D．不能确定

答案：C

解析：∵4 cm<5 cm，即$d<r$，∴点$A$与$⊙O$的位置关系是点$A$在圆内。

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