三角形的定义和表示方法

一、三角形的定义和表示方法

1、三角形

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

在$△ABC$中，线段$AB$，$BC$，$CA$是三角形的边。

点$A$，$B$，$C$是三角形的顶点，

$∠A$，$∠B$，$∠C$是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示方法

三角形可以用符号“$△$”表示，顶点是$A$，$B$，$C$的三角形记作“$△ABC$”，读作“三角形$ABC$”。

$△ABC$的三边，有时也用$a$，$b$，$c$表示。一般情况下，顶点$A$所对的边$BC$用$a$表示，顶点$B$所对的边$AC$用$b$表示，顶点$C$所对的边$AB$用$c$表示。

3、三角形的分类

（1）按边的关系分类

$三角形\begin{cases}三边都不相等的三角形\\等腰三角形\begin{cases}底边和腰不相等的等腰三角形\\等边三角形\end{cases}\end{cases}$

（2）按内角分类

$三角形\begin{cases}直角三角形\\斜三角形\begin{cases}锐角三角形\\钝角三角形\end{cases}\end{cases}$

4、三角形的高、中线与角平分线

（1）三角形的高

定义：从三角形的一个顶点向它所对的边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

几何表达：在$△ABC$中，$AD$是$△ABC$的边$BC$上的高或$AD⊥BC$于$D$或$∠ADB=$$∠A DC=$$90°$。

注：① 三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线。

② 三角形的三条高交于一点，交点叫做三角形的垂心。

③ 锐角三角形的三条高在其内部，三条高的交点在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，三条高的交点在直角顶点处；钝角三角形有两条高在三角形的外部，三条高的延长线的交点在三角形的外部。

（2）三角形的中线

定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线。

几何表达：在$△ABC$中，$AD$是$△ABC$的边$BC$上的中线或$BD=$$DC=$$\frac{1}{2}BC$或$BC=$$2BD=$$2DC$或$D$为$BC$的中点。

注：① 三角形的中线是一条线段。

② 三角形的三条中线都在三角形的内部，且交于一点，交点叫做三角形的重心。

③ 三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形。

④ $△ABC$的中线$AD$也可称为“$BC$边上的中线$AD$”。

（3）三角形的角平分线

定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

几何表达：在$△ABC$中，$AD$是$△ABC$的角平分线或$∠BAD=$$∠CAD=$$\frac{1}{2}∠BAC$。

注：① 三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。

② 三角形的角平分线的画法与角的平分线的画法相同。

③ 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且交于一点，交点叫做三角形的内心。

5、三角形的性质

（1）三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边、三角形的任意两边之差小于第三边。

（2）三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于180°，即在$△ABC$中，$∠A+$$∠B+$$∠C=180°$。

（3）三角形外角的性质

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

（4）三角形外角和定理

三角形的外角和是360°。

6、直角三角形的性质与判定

（1）性质

① 直角三角形的两个锐角互余。

② 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

③ 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

（2）判定

①有一个角为90°的三角形是直角三角形。

②若$a^2+b^2=c^2$，则以$a$、$b$、$c$为边的三角形是以$c$为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

③若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

④两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

⑤若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么这两条直线组成的三角形为直角三角形。

⑥若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

⑦一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。

7、三角形的稳定性

如果三角形的三条边确定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性。

注：①要判断图形是否具有稳定性，关键在于它的结构是不是三角形结构。

②除三角形外，其他图形都不具备稳定性，因此在生产建设中，三角形的应用非常广泛。如：桥梁、起重机、人字型屋顶等。

二、三角形的相关例题

不一定在三角形内部的线段是___

A．三角形的角平分线

B．三角形的中线

C．三角形的高

D．三角形的中位线

答案：C

解析：因为在三角形中，它的中线、角平分线、中位线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形的外部。故选C。

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