实数的定义和分类

一、实数的定义和分类

1、无理数

无线不循环小数叫做无理数。如$\sqrt{2}$，$\sqrt[3]{-3}$，$π$等都是无理数。

无理数包含正无理数和负无理数。

2、常见的无理数

（1）所有开方开不尽的方根，如$\sqrt{5}$。

（2）化简后含有$π$的数，如$-\frac{π}{3}$。

（3）无限不循环小数，如$0.320\ 020\ 263 \cdots$。

3、实数

（1）实数的定义

有理数和无理数统称为实数。

（2）实数的分类

① 按定义分类

实数分为有理数和无理数。

有理数分为正有理数、0、负有理数。

无理数分为正无理数、负无理数。

② 按正负分类

实数分为正实数、0、负实数。

正实数分为正有理数、正无理数。

负实数分为负有理数、负无理数。

4、实数与数轴上的点的对应关系

我们知道，任何一个有理数，在数轴上都有唯一确定的点与之对应，但是数轴上的点并不都表示有理数，而有理数和无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以实数与数轴上的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数。

5、实数的性质

（1）数$a$的相反数是$-a$，这里$a$表示任意一个实数。

（2）一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即设$a$表示一个实数，则

$\displaystyle{}|a|=\begin{cases}a,当a>0时;\\0,当a=0时;\\-a,当a<0时。\end{cases}$

（3）实数$a$的倒数为$\frac{1}{a}$$(a≠0)$，若$a$与$b$互为倒数，则$ab=1$；若$ab=1$，则$a$与$b$互为倒数。

6、实数的运算

（1）实数的运算

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。

（2）实数运算的顺序

先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号的要先算括号里面的。实数的运算顺序与有理数相同，有理数范围内的加法运算律、乘法运算律和去（添）括号法则同样适用于实数。

（3）比较实数大小的常见方法

① 把根号外的正数平方后移入根号内，由被开方数的大小比较根式的大小；对于符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小。如：同是正号的两个平方根式，平方后大的根式，原根式也大；同是负号的两个平方根式，平方后大的根式，原根式反而小。

② 作差法比较：若$a-b>0$，则$a>b$；若$a-b<0$，则$a<b$。

③ 对于符号相同的两个实数，还可利用取倒数法来比较大小，即若$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}>0$，则$a<b$；若$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$，则$a>b$。

二、实数的相关例题

计算：$3×(\sqrt{2}+\sqrt{3})+3×(\sqrt{2}-2\sqrt{3})$

答案：$6\sqrt{2}-3\sqrt{3}$

解析：$3×(\sqrt{2}+\sqrt{3})+3×(\sqrt{2}-2\sqrt{3})=$$3\sqrt{2}+$$3\sqrt{3}+$$3\sqrt{2}-$$6\sqrt{3}=$$6\sqrt{2}-$$3\sqrt{3}$。

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