极坐标系的定义及和直角坐标的互化

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一、极坐标系的定义及和直角坐标的互化

1、极坐标系

在平面内取一个顶点$O$，叫做极点；自极点$O$引一条射线$Ox$，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。

2、点的极坐标

设$M$是平面内一点，极点$O$与点$M$的距离$|OM|$叫做点$M$的极径，记为$ρ$；以极轴$Ox$为始边，射线$OM$为终边的角$xOM$叫做点$M$的极角，记为$θ$。有序数对$（ρ，θ）$叫做点$M$的极坐标，记为$M(ρ，θ)$。(一般地，不作特殊说明时，认为$ρ≥0，θ$可取任意实数)

建立极坐标后，给定$ρ$和$θ$，就可以在平面内唯一确定点$M$；反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的极坐标$（ρ，θ）$。

3、特殊点的极坐标

极点$O$的极坐标为(0,$θ$)($θ\in\mathbf{R}$)；

极轴上的点的极坐标为($ρ$,0)($ρ>0$)；

极轴反向延长线上的点的极坐标为($ρ$,$π$)($ρ>0$)。

注：一般地，极坐标$（ρ，θ）$与$（ρ，θ+2kπ）（k\in\mathbf{Z}$）表示同一个点。和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示；如果规定$ρ≥0,0≤θ≤2π$，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标$（ρ，θ）$表示的点也是唯一确定的。

4、极坐标和直角坐标的互化

互化的前提条件

（1）极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；

（2）极坐标系中的极轴与直角坐标系中的$x$轴的正半轴重合；

（3）在两种坐标系中取相同的长度单位。

互化公式

设$M$是平面内任意一点，它的直角坐标是$(x,y)$，极坐标是$（ρ，θ）$，

则有：$x=ρ\cos θ,y=ρ\sin θ$。

$ρ^2=x^2+y^2,\tan θ=\frac{y}{x}(x≠0)$。

把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法（极角相差2$\pi$的整数倍）。一般只要取$θ\in[0,2θ)$就可以了

拓展：在极坐标系中，$O$为极点，$P_1(ρ_1，θ_1),P(ρ_2，θ_2)$，其中$ρ_1，ρ_2>0,θ_1,θ_2\in[0,2\pi)$,则$|P_1P_2|=\sqrt{ρ^2_1+ρ^2_2-2ρ_1ρ_2\cos(θ_1-θ_2)}$,$S_{△P_1OP_2}=\frac{1}{2}|\sin (θ_1-θ_2)|$。

二、极坐标系的相关例题

圆$C$的极坐标方程为$ρ=2\cosθ $ ,则圆心$C$的极坐标为___

A．(2，0)

B．(1，$\pi$)

C．(1，0)

D．(2，$\pi$)

答案：C解析：圆$ρ^2-2ρ\cos θ=0,(x-1)^2+y^2=1$，圆心（1，0），所以圆心的极坐标为（1，0），故选C。