空间向量的定义和基本定理

时间：2021-03-01保存为WORD

一、空间向量的定义和基本定理

1、空间向量

与平面向量一样，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。

2、空间向量基本定理

（1）共线向量定理

定理：对空间任意两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$($\boldsymbol b$≠0），$\boldsymbol a∥\boldsymbol b$的充要条件是存在实数$\lambda$，使$\boldsymbol a$=$λ\boldsymbol b$。

推论：如果$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$\boldsymbol a$的直线，那么对空间任一点$O$，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\boldsymbol \alpha$①。

其中向量$\boldsymbol a$叫做直线$l$的方向向量。

在$l$上取$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol a$，则①式可化为$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\overrightarrow{A B}$或$\overrightarrow{O P}=(1-t)\overrightarrow{O A}+t\overrightarrow{O B}$②。

当$t=\frac{1}{2}$时，点$P$是线段$AB$的中点，则$\overrightarrow{O P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$③。

①②式都叫做空间直线的向量表示，③式是线段$AB$的中点公式。

（2）共面向量定理

定理：如果两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$不共线，那么向量$\boldsymbol p$与向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（$x$，$y$），使$\boldsymbol p$=$x\boldsymbol a$+$y\boldsymbol b$。

推论1：空间一点$P$位于平面$MAB$内的充要条件是存在有序实数对（$x$，$y$），使$\overrightarrow{M P}=x\overrightarrow{M A}+y\overrightarrow{M B}$（或对空间任一点$O$，有$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O M}+x\overrightarrow{M A}+y\overrightarrow{M B}$）。

推论2：空间一点$P$位于平面$MAB$内的充要条件是存在有序实数组${ x,y,z}$，对空间任一点$O$，有$\overrightarrow{O P}=x\overrightarrow{O A}+y\overrightarrow{O B}+z\overrightarrow{O M}$，其中$x$+$y$+$z$=1。

（3）空间向量基本定理

定理：如果三个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，$\boldsymbol c$不共面，那么对空间任一向量$\boldsymbol p$，存在有序实数组${ x,y,z}$，使得$\boldsymbol p$=$x\boldsymbol a$+$y\boldsymbol b$+$z\boldsymbol c$。

其中${ \boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c}$叫做空间的一个基底，$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，$\boldsymbol c$都叫做基向量。

推论：设$O$，$A$，$B$，$C$是不共面的四点，则对空间任一点$P$，都存在唯一的有序实数组${ x,y,z}$，使得$\overrightarrow{O P}=x\overrightarrow{O A}+y\overrightarrow{O B}+z\overrightarrow{O C}$。

3、空间向量的数量积

已知空间两个非零向量$\boldsymbol a$和$\boldsymbol b$，则$|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos \left \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\right \rangle$叫做$\boldsymbol a，\boldsymbol b$的数量积，记作$\boldsymbol a·\boldsymbol b$，即$\boldsymbol a·\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\left \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\right \rangle$。

注：（1）两个向量的数量积是一个数，而不是向量，其值的符号由夹角的余弦值符号确定。

（2）向量的数量积$\boldsymbol a·\boldsymbol b$不能表示为$\boldsymbol a×\boldsymbol b$或$\boldsymbol a\boldsymbol b$。

（3）运用向量的数量积解题时，要注意两向量夹角的范围是$\left \lceil 0,\pi \right \rceil$。

4、向量数量积的性质

（1）$|\boldsymbol a|^2=\boldsymbol a·\boldsymbol a=\boldsymbol a^2\Rightarrow|\boldsymbol a|=\sqrt{\boldsymbol a^2}$。

（2）$\boldsymbol a⊥\boldsymbol b\Leftrightarrow\boldsymbol a·\boldsymbol b=0$。

（3）$\cos \left \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\right \rangle=\frac{\boldsymbol a·\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}$。

（4）对任意向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，总有$|\boldsymbol a·\boldsymbol b|≤|\boldsymbol a||\boldsymbol b|$，并且只有$\boldsymbol a$∥$\boldsymbol b$时，等号成立。

5、向量数量积的运算律

（1）$（\lambda\boldsymbol a）·\boldsymbol b=λ（\boldsymbol a·\boldsymbol b）$。

（2）$\boldsymbol a·\boldsymbol b=\boldsymbol b·\boldsymbol a$。

（3）$\boldsymbol a·(\boldsymbol b+\boldsymbol c)=\boldsymbol a·\boldsymbol b+\boldsymbol a·\boldsymbol c$。

6、向量数量积满足的乘法公式

（1）$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)·(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=\boldsymbol a^2-\boldsymbol b^2=|\boldsymbol a|^2-|\boldsymbol b|^2$。

（2）$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)^2=|\boldsymbol a|^2+2\boldsymbol a·\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2$。

（3）$(\boldsymbol a-\boldsymbol b)^2=|\boldsymbol a|^2-2\boldsymbol a·\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2$。

（4）$|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2+|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2=2|\boldsymbol a|^2+2|\boldsymbol b|^2$。

7、空间向量的坐标运算

设$\boldsymbol a(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol b(x_2,y_2,z_2)$，则

（1）$\boldsymbol a+\boldsymbol b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。

（2）$\boldsymbol a-\boldsymbol b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。

（3）$\boldsymbol a·\boldsymbol b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。

（4）$|\boldsymbol a|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$。

（5）$λ\boldsymbol a=(λx_1,λy_1,λz_1)$。

二、空间向量的相关例题

下列说法错误的是___

A.设$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$是两个空间向量,则$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$一定共面

B.设$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$是两个空间向量，则$\boldsymbol a·\boldsymbol b$= $\boldsymbol b·\boldsymbol a$

C.设$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，$\boldsymbol c$是三个空间向量，则$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，$\boldsymbol c$一定不共面

D.设$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，$\boldsymbol c$是三个空间向量，则$\boldsymbol a(\boldsymbol b+\boldsymbol c$)=$\boldsymbol a\boldsymbol b+\boldsymbol a\boldsymbol c$

答案：C

解析：A，设$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$是两个空间向量，则$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$一定共面，正确，因为向量可以平移；B，设$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$是两个空间向量，则$\boldsymbol a·\boldsymbol b$=$\boldsymbol b·\boldsymbol a$ ，正确，因为向量的数量积满足交换律；C，设$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，$\boldsymbol c$是三个空间向量，则$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，$\boldsymbol c$可能共面，可能不共面，故C错误；D，设$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，$\boldsymbol c$是三个空间向量，则$\boldsymbol a(\boldsymbol b+\boldsymbol c)=\boldsymbol a\boldsymbol b+\boldsymbol a\boldsymbol c$，正确，因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律。故选C。