必要不充分条件的定义和判定方法

时间：2021-02-28保存为WORD

一、必要不充分条件的定义和判定方法

1、定义

（1）充分不必要条件：一般地，如果有$p\Rightarrow q$且$q\nRightarrow p$，此时，我们说$p$是$q$的充分不必要条件。

（2）必要不充分条件：一般地，如果有$p\nRightarrow q$且$q\Rightarrow p$，此时，我们说$p$是$q$的必要不充分条件

（3）充要条件：一般地，如果既有$p\Rightarrow q$,又有$q\Rightarrow p$,就记作$p\Leftrightarrow q$。此时，我们说$p$是$q$的充分必要条件，简称充要条件。显然，如果$p$是$q$的充要条件，那么$q$也是$p$的充要条件。概括地说，如果$p\Leftrightarrow q$，,那么$p$与$q$互为充要条件。

2、充分条件与必要条件的传递性

（1）若$p$是$q$的充分条件，$q$是$s$的充分条件，即$p\Rightarrow q，q\Rightarrow s$，则有$p\Rightarrow s$，即$p$是$s$的充分条件。

（2）若$p$是$q$的必要条件，$q$是$s$的必要条件，即$q\Rightarrow p，s\Rightarrow q$，则有$s\Rightarrow p$，即$p$是$s$的必要条件。

（3）若$p$是$q$的充要条件，$q$是$s$的充要条件，即$p\Leftrightarrow q，q\Leftrightarrow s$，即$p$是$s$的充要条件。

3、充分、必要条件的判定方法

（1）定义法

① 认清$p$与$q$；

② 找推式：判断是否有$“p\Rightarrow q”“q\Rightarrow p”$；

③ 根据推式找出结论。

（2）集合法

写出集合$A={x|p(x)}$及$B={x|q(x)}$，利用集合间的包含关系进行判断。

（3）用命题的等价性判断

利用$p\Rightarrow q$与$\lnot q\Rightarrow \lnot p$，$q \Rightarrow p$与$\lnot p\Rightarrow \lnot q$，$p \Leftrightarrow q$与$\lnot p\Leftrightarrow \lnot q$的等价关系判断，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法。

（4）利用传递性判断

对于较复杂（如链式）关系，常利用$\Rightarrow， \Leftarrow，\Leftrightarrow，\nRightarrow$等符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论。

二、必要不充分条件的相关例题

设$x∈\mathbf{R}$，则$“x^2-5x<0”$是$“|x-1|<1"$的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：B

解析：由$x^2-5x<0$，解得$0<x<5$，由$|x-1|<1$，解得$0<x<2$，故$“x^2-5x<0”$是$“|x-1|<1”$的必要而不充分条件，故选B。