指数不等式的定义和绝对值不等式

一、指数不等式的定义和绝对值不等式

1、定义：一般地，函数$y=a^x(a>0$，且$a≠1)$叫做指数函数，其中$x$是自变量，函数的定义域是$\mathbf{R}$。像这样$(a^x>b^x)$与指数函数有关的不等式即为指数不等式。

2、不等式在高中常见的还有绝对值不等式、分式不等式、对数不等式和一元二次不等式

（1）绝对值不等式：即含有绝对值的不等式，如$|a|<1$。

（2）分式不等式：与分式方程类似，像$\frac{f(x)}{g(x)}>0$或$\frac{f(x)}{g(x)}<0$（其中$f(x)、g(x)$为整式且$g(x)$不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。

（3）对数不等式：像这样$(\log ^x_a>\log ^x_b)$与对数函数有关的不等式即为对数不等式。

（4）一元二次不等式：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

二、指数不等式的相关例题

已知实数$a>b$，则以下不等式中恒成立的是___

A．$a^3>b^3$

B．$a^2>b^2$

C．$\left(\frac{1}{3}\right)^a>\left(\frac{1}{3}\right)^b$

D．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

答案：A

解析：由$f(x)=x^3$是增函数，易知选项A正确；当$a=1$，$b=-1$时，$a^2>b^2$不成立，则B错误；由$\left(\frac{1}{3}\right)^a>\left(\frac{1}{3}\right)^b$，得$a<b$，则C错误；当$a=1$，$b=-1$时，$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$不成立，则D错误，故选A。

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