绝对值不等式的定理和性质

一、绝对值不等式的定理和性质

1、绝对值三角不等式

定理1：如果$a,b$是实数，则$|a+b|≤|a|+|b|$，当且仅当$ab≥0$时等号成立。

性质：① $|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|$。$\quad\quad\ \ \ $② $|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|$。$\quad\quad\ \ \ $③ 当$ab≥0$时，$|a+b|=|a|+|b|$；当$ab≤0$时，$|a-b|=|a|+|b|$。

定理2：如果$a$，$b$，$c$是实数，那么$|a-c|≤|a-b|+|b-c|$，当且仅当$(a-b)(b-c)≥0$时，等号成立。

2、不等式在高中常见的还有分式不等式、指数不等式、对数不等式和一元二次不等式

（1）分式不等式：与分式方程类似，像$\frac{f(x)}{g(x)}>0$或$\frac{f(x)}{g(x)}<0$（其中$f(x)、g(x)$为整式且$g(x)$不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。

（2）指数不等式：像这样（$a^x>b^x$）与指数函数有关的不等式即为指数不等式。

（3）对数不等式：像这样$(\log ^x_a>\log ^x_b)$与对数函数有关的不等式即为对数不等式。

（4）一元二次不等式：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

二、绝对值不等式的相关例题

已知$|a-c|<|b|$，则____

A．$a<b+c$

B．$a>c-b$

C．$|a|>|b|-|c|$

D．$|a|<|b|+|c|$

答案：D

解析：因为$|a-c|≥|a|-|c|$，且$|a-c|<|b|$，所以$|a|-|c|<|b|$，即$|a|<|b|+|c|$。故选D。

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