导数的几何意义和物理意义

一、导数的几何意义和物理意义

1、导数的几何意义

函数$y=f(x)$在$x=x_0$处的导数的几何意义，就是曲线$y=f(x)$在点$P(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率$k$，即$k=f′(x_0)$。

（1）曲线$y=f(x)$在点$P(x_0,y_0)$处的切线是指以$P$为切点，切线斜率为$k=f′(x_0)$的切线。

（2）曲线$y=f(x)$过点$P(x_0,y_0)$的切线是指切线经过$P$点。此时点$P$可能是切点，也可能不是切点。如果不是切点，这样的切线有很多条。

函数$y=f(x)$在某点处的导数、曲线$y=f(x)$在某点处切线的斜率和倾斜角，这三者是可以相互转化的。

2、导数的物理意义

导数的物理意义：瞬时速度是路程函数相对于时间的瞬时变化率，瞬时加速度是速度函数相对于时间的瞬时变化率。

导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度。

3、基本初等函数的导数公式

（1）若$f(x)=c$（$c$为常数），则$f^＇(x)=0$。

（2）若$f(x)=x^a$（$a∈\mathbf{Q}^*$），则$f^＇(x)=ax^{a-1}$。

（3）若$f(x)=\sin x$，则$f^＇(x)=\cos x$。

（4）若$f(x)=\cos x$，则$f^＇(x)=-\sin x$。

（5）若$f(x)=a^x$（$a>0$，且$a≠1$），则$f^＇(x)=a^x\ln a$。

（6）若$f(x)={\rm e}^x$，则$f^＇(x)={\rm e}^x$。

（7）若$f(x)=\log _ax$，则$f^＇(x)=\frac{1}{x\ln a}$。

（8）若$f(x)=\ln x$，则$f^＇(x)=\frac{1}{x}$。

4、导数的四则运算法则

（1）$[f(x)±g(x)]^′=f^′(x)±g^′(x)$。

两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。

（2）$[f(x)·g(x)]^′=f^′(x)·g(x)+f(x)·g^′(x)$。

两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数的导数。

（3）$\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^′=$$\frac{f^′(x)·g(x)-f(x)·g^′(x)}{[g(x)]^2}(g(x)≠0)$。

两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方。

熟记：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数。

二、导数的几何意义的相关例题

函数$f(x)=x^4-2x^3$的图象在点$(1,f(1))$处的切线方程为___

A．$y=-2x-1$

B．$y=-2x+1$

C．$y=2x-3$

D．$y=2x+1$

答案：B

解析：由$f(x)=x^4-2x^3$得$f′(x)=4x^3-6x^2$，所以$f^′(1)=-2$，又$f(1)=-1$，所以函数$f(x)$的图象在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y+1=-2(x-1)$，即$y=-2x+1$，故选B。

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