等差数列的性质

一、等差数列的性质

若数列$\{a_n\}$是首项为$a_1$，公差为$d$的等差数列，则它具有以下性质

（1）若$m+n=p+q(m,n,p,q∈\mathbf{N}^*)$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$。

（2）若$\frac{m+n}{2}=k$，则$a_m+a_n=2a_k(m,n,k∈\mathbf{N}^*)$。

（3）在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_n=m$，$a_m=n$，$(m≠n)$，则有$a_{m+n}=0$。

（4）若$\{a_n\}$是有穷等差数列，则$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=$$\cdots=$$a_i+a_{n+1-i}=\cdots$。

（5）数列$λa_n+b$（$λ$，$b$是常数）是公差为$λd$的等差数列。

（6）下标成等差数列且公差为$m$的项$a_k$，$a_{k+m}$，$a_{k+2m}$，$\cdots(k,m∈\mathbf{N}^*)$，组成公差为$md$的等差数列。

（7）若数列$\{b_n\}$是等差数列，则数列$\{a_n±b_n\}$，$\{ka_n±b_n\}$（$k$为非零常数）也是等差数列。

熟练地掌握等差数列的性质有助于我们巧妙利用其性质来解题。

二、等差数列的性质的相关例题

已知数列$\{a_n\}$满足$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}(n\geqslant2)$，$a_2+a_4+a_6=12$，$a_1+a_3+a_5=9$，则$a_3+a_4=$____

A．6 B．7 C．8 D．9

答案：B

解析：$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}(n\geqslant2)$，∴$\{a_n\}$是等差数列，由等差数列性质可得$a_2+a_4+a_6=3a_4=12$，$a_1+a_3+a_5=3a_3=9$，$∴a_3+a_4=3+4=7$，故选B。

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