点与圆的位置关系和判定方法

一、点与圆的位置关系和判定方法

1、点与圆的位置关系

设平面内一点$M$到圆心$O$的距离为$d$，圆的半径为$r$，则

（1）点在圆上$\Leftrightarrow d=r$；

（2）点在圆内$\Leftrightarrow d<r$；

（3）点在圆外$\Leftrightarrow d>r$。

2、直线与圆的位置关系的判定方法

（1）几何法

利用圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小关系来判断。

①直线与圆相切$\Leftrightarrow d=r$；

②直线与圆相交$\Leftrightarrow d<r$；

③直线与圆相离$\Leftrightarrow d>r$。

（2）代数法

联立直线与圆的方程，消元后得到关于$x$（或$y$）的一元二次方程，利用判别式$\mathit{Δ}=b^2-4ac$来判断。

①直线与圆相切$\Leftrightarrow \mathit{Δ}=0$；

②直线与圆相离$\Leftrightarrow \mathit{Δ}<0$；

③直线与圆相交$\Leftrightarrow \mathit{Δ}>0$。

3、圆与圆的位置关系的判定方法

（1）几何法

利用圆心距和两圆半径比较大小。

设两圆的半径分别为$r_1$，$r_2$，圆心距为$d$。

① 两圆外离$\Leftrightarrow d>r_1+r_2$，此时有四条公切线；

② 两圆外切$\Leftrightarrow d=r_1+r_2$，此时有三条公切线；

③ 两圆相交$\Leftrightarrow$$|r_1-r_2|<$$d<$$r_1+r_2$，此时有两条公切线；

④ 两圆内切$\Leftrightarrow d=|r_1-r_2|$，此时有一条公切线；

⑤ 两圆内含$\Leftrightarrow 0\leqslant d<|r_1-r_2|$，此时没有公切线。

（2）代数法

利用两圆的交点进行判断

设由两圆的方程组成的方程组为

$\begin{cases}x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0,x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0。\end{cases}$由此方程组得

有两组不同实数解$\Leftrightarrow$两圆相交；

有两组相同实数解$\Leftrightarrow$两圆相切（内切或外切）；

无实数解$\Leftrightarrow$两圆外离或内含。

二、点与圆的位置关系的相关例题

如果直线$ax+by=4$与圆$x^2+y^2=4$有两个不同的交点，那么点$P(a,b)$与圆的位置关系是___

A．$P$在圆外

B．$P$在圆上

C．$P$在圆内

D．$P$与圆的位置关系不确定

答案：A

解析：由题意得$\frac{|-4|}{\sqrt{a^2+b^2}}<2$，∴$a^2+b^2>4$，所以点$P(a,b)$在圆外。

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